Нахождение определителя матрицы методом треугольника
Expertrating.ru

Юридический портал

Нахождение определителя матрицы методом треугольника

Методы вычисления определителей

В общем случае правило вычисления определителей $n$-го порядка является довольно громоздким. Для определителей второго и третьего порядка существуют рациональные способы их вычислений.

Вычисления определителей второго порядка

Чтобы вычислить определитель матрицы второго порядка, надо от произведения элементов главной диагонали отнять произведение элементов побочной диагонали:

Задание. Вычислить определитель второго порядка $left| begin <11>& <-2>\ <7>& <5>endright|$

Решение. $left| begin <11>& <-2>\ <7>& <5>endright|=11 cdot 5-(-2) cdot 7=55+14=69$

Методы вычисления определителей третьего порядка

Для вычисления определителей третьего порядка существует такие правила.

Правило треугольника

Схематически это правило можно изобразить следующим образом:

Произведение элементов в первом определителе, которые соединены прямыми, берется со знаком “плюс”; аналогично, для второго определителя – соответствующие произведения берутся со знаком “минус”, т.е.

Задание. Вычислить определитель $left| begin <3>& <3>& <-1>\ <4>& <1>& <3>\ <1>& <-2>& <-2>endright|$ методом треугольников.

Решение. $left| begin <3>& <3>& <-1>\ <4>& <1>& <3>\ <1>& <-2>& <-2>endright|=3 cdot 1 cdot(-2)+4 cdot(-2) cdot(-1)+$

$$+3 cdot 3 cdot 1-(-1) cdot 1 cdot 1-3 cdot(-2) cdot 3-4 cdot 3 cdot(-2)=54$$

Правило Саррюса

Справа от определителя дописывают первых два столбца и произведения элементов на главной диагонали и на диагоналях, ей параллельных, берут со знаком “плюс”; а произведения элементов побочной диагонали и диагоналей, ей параллельных, со знаком “минус”:

Задание. Вычислить определитель $left| begin <3>& <3>& <-1>\ <4>& <1>& <3>\ <1>& <-2>& <-2>endright|$ с помощью правила Саррюса.

Решение.

$$+(-1) cdot 4 cdot(-2)-(-1) cdot 1 cdot 1-3 cdot 3 cdot(-2)-3 cdot 4 cdot(-2)=54$$

Разложение определителя по строке или столбцу

Определитель равен сумме произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения. Обычно выбирают ту строку/столбец, в которой/ом есть нули. Строку или столбец, по которой/ому ведется разложение, будет обозначать стрелкой.

Задание. Разложив по первой строке, вычислить определитель $left| begin <1>& <2>& <3>\ <4>& <5>& <6>\ <7>& <8>& <9>endright|$

Решение. $left| begin <1>& <2>& <3>\ <4>& <5>& <6>\ <7>& <8>& <9>endright| leftarrow=a_ <11>cdot A_<11>+a_ <12>cdot A_<12>+a_ <13>cdot A_<13>=$

Этот метод позволяет вычисление определителя свести к вычислению определителя более низкого порядка.

Задание. Вычислить определитель $left| begin <1>& <2>& <3>\ <4>& <5>& <6>\ <7>& <8>& <9>endright|$

Решение. Выполним следующие преобразования над строками определителя: из второй строки отнимем четыре первых, а из третьей первую строку, умноженную на семь, в результате, согласно свойствам определителя, получим определитель, равный данному.

Определитель равен нулю, так как вторая и третья строки являются пропорциональными.

Для вычисления определителей четвертого порядка и выше применяется либо разложение по строке/столбцу, либо приведение к треугольному виду, либо с помощью теоремы Лапласа.

Разложение определителя по элементам строки или столбца

Задание. Вычислить определитель $left| begin <9>& <8>& <7>& <6>\ <5>& <4>& <3>& <2>\ <1>& <0>& <1>& <2>\ <3>& <4>& <5>& <6>endright|$ , разложив его по элементам какой-то строки или какого-то столбца.

Решение. Предварительно выполним элементарные преобразования над строками определителя, сделав как можно больше нулей либо в строке, либо в столбце. Для этого вначале от первой строки отнимем девять третьих, от второй – пять третьих и от четвертой – три третьих строки, получаем:

Полученный определитель разложим по элементам первого столбца:

Полученный определитель третьего порядка также разложим по элементам строки и столбца, предварительно получив нули, например, в первом столбце. Для этого от первой строки отнимаем две вторые строки, а от третьей – вторую:

$$=4 cdot(2 cdot 8-4 cdot 4)=0$$

Замечание

Последний и предпоследний определители можно было бы и не вычислять, а сразу сделать вывод о том, что они равны нулю, так как содержат пропорциональные строки.

Приведение определителя к треугольному виду

С помощью элементарных преобразований над строками или столбцами определитель приводится к треугольному виду и тогда его значение, согласно свойствам определителя, равно произведению элементов стоящих на главной диагонали.

Задание. Вычислить определитель $Delta=left| begin <-2>& <1>& <3>& <2>\ <3>& <0>& <-1>& <2>\ <-5>& <2>& <3>& <0>\ <4>& <-1>& <2>& <-3>endright|$ приведением его к треугольному виду.

Решение. Сначала делаем нули в первом столбце под главной диагональю. Все преобразования будет выполнять проще, если элемент $a_<11>$ будет равен 1. Для этого мы поменяем местами первый и второй столбцы определителя, что, согласно свойствам определителя, приведет к тому, что он сменит знак на противоположный:

Далее получим нули в первом столбце, кроме элемента $a_<11>$ , для этого из третьей строки вычтем две первых, а к четвертой строке прибавим первую, будем иметь:

Далее получаем нули во втором столбце на месте элементов, стоящих под главной диагональю. И снова, если диагональный элемент будет равен $pm 1$ , то вычисления будут более простыми. Для этого меняем местами вторую и третью строки (и при этом меняется на противоположный знак определителя):

Далее делаем нули во втором столбце под главной диагональю, для этого поступаем следующим образом: к третьей строке прибавляем три вторых, а к четвертой – две вторых строки, получаем:

Далее из третьей строки выносим (-10) за определитель и делаем нули в третьем столбце под главной диагональю, а для этого к последней строке прибавляем третью:

Ответ. $Delta=-80$

Теорема Лапласа

Пусть $Delta$ – определитель $n$-го порядка. Выберем в нем произвольные $k$ строк (или столбцов), причем $k leq n-1$ . Тогда сумма произведений всех миноров $k$-го порядка, которые содержатся в выбранных $k$ строках (столбцах), на их алгебраические дополнения равна определителю.

Задание. Используя теорему Лапласа, вычислить определитель $left| begin <2>& <3>& <0>& <4>& <5>\ <0>& <1>& <0>& <-1>& <2>\ <3>& <2>& <1>& <0>& <1>\ <0>& <4>& <0>& <-5>& <0>\ <1>& <1>& <2>& <-2>& <1>endright|$

Решение. Выберем в данном определителе пятого порядка две строки – вторую и третью, тогда получаем (слагаемые, которые равны нулю, опускаем):

Как вычислить определитель?

В ходе решения задач по высшей математике очень часто возникает необходимость вычислить определитель матрицы. Определитель матрицы фигурирует в линейной алгебре, аналитической геометрии, математическом анализе и других разделах высшей математики. Таким образом, без навыка решения определителей просто не обойтись. Также для самопроверки Вы можете бесплатно скачать калькулятор определителей, он сам по себе не научит решать определители, но очень удобен, поскольку всегда выгодно заранее знать правильный ответ!

Я не буду давать строгое математическое определение определителя, и, вообще, буду стараться минимизировать математическую терминологию, большинству читателей легче от этого не станет. Задача данной статьи – научить Вас решать определители второго, третьего и четвертого порядка. Весь материал изложен в простой и доступной форме, и даже полный (пустой) чайник в высшей математике после внимательного изучения материала сможет правильно решать определители.

Определитель можно вычислить только для квадратной матрицы (более подробно см. Действия с матрицами)

На практике чаще всего можно встретить определитель второго порядка, например: , и определитель третьего порядка, например: .

Определитель четвертого порядка тоже не антиквариат, и к нему мы подойдём в конце урока.

Надеюсь, всем понятно следующее: Числа внутри определителя живут сами по себе, и ни о каком вычитании речи не идет! Менять местами числа нельзя!

(Как частность, можно осуществлять парные перестановки строк или столбцов определителя со сменой его знака, но часто в этом нет никакой необходимости – см. следующий урок Свойства определителя и понижение его порядка)

Таким образом, если дан какой-либо определитель, то ничего внутри него не трогаем!

Читать еще:  Официально не трудоустроена, сейчас выгоняют с работы

Обозначения: Если дана матрица , то ее определитель обозначают . Также очень часто определитель обозначают латинской буквой или греческой .

1) Что значит решить (найти, раскрыть) определитель? Вычислить определитель – это значит НАЙТИ ЧИСЛО. Знаки вопроса в вышерассмотренных примерах – это совершенно обыкновенные числа.

2) Теперь осталось разобраться в том, КАК найти это число? Для этого нужно применить определенные правила, формулы и алгоритмы, о чём сейчас и пойдет речь.

Начнем с определителя «два» на «два»:

ЭТО НУЖНО ЗАПОМНИТЬ, по крайне мере на время изучения высшей математики в ВУЗе.

Сразу рассмотрим пример:

Готово. Самое главное, НЕ ЗАПУТАТЬСЯ В ЗНАКАХ.

Определитель матрицы «три на три» можно раскрыть 8 способами, 2 из них простые и 6 – нормальные.

Начнем с двух простых способов

Аналогично определителю «два на два», определитель «три на три» можно раскрыть с помощью формулы:

Формула длинная и допустить ошибку по невнимательности проще простого. Как избежать досадных промахов? Для этого придуман второй способ вычисления определителя, который фактически совпадает с первым. Называется он способом Саррюса или способом «параллельных полосок».
Суть состоит в том, что справа от определителя приписывают первый и второй столбец и аккуратно карандашом проводят линии:


Множители, находящиеся на «красных» диагоналях входят в формулу со знаком «плюс».
Множители, находящиеся на «синих» диагоналях входят в формулу со знаком минус:

Сравните два решения. Нетрудно заметить, что это ОДНО И ТО ЖЕ, просто во втором случае немного переставлены множители формулы, и, самое главное, вероятность допустить ошибку значительно меньше.

Теперь рассмотрим шесть нормальных способов для вычисления определителя

Почему нормальных? Потому что в подавляющем большинстве случаев определители требуется раскрывать именно так.

Как Вы заметили, у определителя «три на три» три столбца и три строки.
Решить определитель можно, раскрыв его по любой строке или по любому столбцу.
Таким образом, получается 6 способов, при этом во всех случаях используется однотипный алгоритм.

Определитель матрицы равен сумме произведений элементов строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения. Страшно? Все намного проще, будем использовать ненаучный, но понятный подход, доступный даже для человека, далекого от математики.

В следующем примере будем раскрывать определитель по первой строке.
Для этого нам понадобится матрица знаков: . Легко заметить, что знаки расположены в шахматном порядке.

Внимание! Матрица знаков – это мое собственное изобретение. Данное понятие не научное, его не нужно использовать в чистовом оформлении заданий, оно лишь помогает Вам понять алгоритм вычисления определителя.

Сначала я приведу полное решение. Снова берем наш подопытный определитель и проводим вычисления:

И главный вопрос: КАК из определителя «три на три» получить вот это вот:
?

Итак, определитель «три на три» сводится к решению трёх маленьких определителей, или как их еще называют, МИНОРОВ. Термин рекомендую запомнить, тем более, он запоминающийся: минор – маленький.

Коль скоро выбран способ разложения определителя по первой строке, очевидно, что всё вращается вокруг неё:

Элементы обычно рассматривают слева направо (или сверху вниз, если был бы выбран столбец)

Поехали, сначала разбираемся с первым элементом строки, то есть с единицей:

1) Из матрицы знаков выписываем соответствующий знак:

2) Затем записываем сам элемент:

3) МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит первый элемент:

Оставшиеся четыре числа и образуют определитель «два на два», который называется МИНОРОМ данного элемента (единицы).

Переходим ко второму элементу строки.

4) Из матрицы знаков выписываем соответствующий знак:

5) Затем записываем второй элемент:

6) МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит второй элемент:

Оставшиеся четыре числа записываем в маленький определитель.

Ну и третий элемент первой строки. Никакой оригинальности:

7) Из матрицы знаков выписываем соответствующий знак:

8) Записываем третий элемент:

9) МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит третий элемент:

Оставшиеся четыре числа записываем в маленький определитель.

Остальные действия не представляют трудностей, поскольку определители «два на два» мы считать уже умеем. НЕ ПУТАЕМСЯ В ЗНАКАХ!

Аналогично определитель можно разложить по любой строке или по любому столбцу. Естественно, во всех шести случаях ответ получается одинаковым.

Определитель «четыре на четыре» можно вычислить, используя этот же алгоритм.
При этом матрица знаков у нас увеличится:

В следующем примере я раскрыл определитель по четвертому столбцу:

А как это получилось, попробуйте разобраться самостоятельно. Дополнительная информация будет позже. Если кто захочет прорешать определитель до конца, правильный ответ: 18. Для тренировки лучше раскрыть определитель по какому-нибудь другому столбцу или другой строке.

Потренироваться, раскрыть, провести расчёты – это очень хорошо и полезно. Но сколько времени вы потратите на большой определитель? Нельзя ли как-нибудь быстрее и надёжнее? Предлагаю ознакомиться с эффективными методами вычисления определителей на втором уроке – Свойства определителя. Понижение порядка определителя.

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

Профессиональная помощь по любому предмету – Zaochnik.com

Вычисление определителя методом сведения к треугольному виду.

Метод сведения определителя к треугольному виду использует те же преобразования, что и метод эффективного понижения порядка. Только при вычислении определителя методом эффективного понижения порядка мы постепенно уменьшаем порядок определителя, а для метода сведения к треугольному виду порядок определителя остаётся неизменным до конца процесса решения. Суть метода сведения к треугольному виду такова: с помощью действий со строками (или столбцами) преобразовать определитель к виду, когда все элементы, лежащие ниже (или выше) главной диагонали равны нулю. Т.е. после преобразований определитель должен принять одну из двух форм (элементы на главной диагонали выделены синим цветом):

Хотя разницы и нет, обычно приводят к первому случаю, когда нули расположены под главной диагональю. После преобразований определитель вычисляется простым умножением элементов, расположенных на главной диагонали. Для того, чтобы обнулить требуемые элементы и вычислить определитель, нам пригодятся несколько свойств определителей, которые указаны в теме “Некоторые свойства определителей”. Я запишу ниже несколько свойств, которые нам пригодятся при решении. В примечании после каждого свойства будет указан пример его применения.

    Если поменять местами две строки (столбца) определителя, то знак определителя изменится на противоположный.

Пример применения этого свойства: показатьскрыть

Рассмотрим определитель $left| begin 2 & 5 \ 9 & 4 end right|$. Найдём его значение, используя формулу №1 из темы вычисления определителей второго и третьего порядков:

$$left| begin 2 & 5 \ 9 & 4 end right|=2cdot 4-5cdot 9=-37.$$

Теперь поменяем местами первую и вторую строки. Получим определитель $left| begin 9 & 4 \ 2 & 5 end right|$. Вычислим полученный определитель: $left| begin 9 & 4 \ 2 & 5 end right|=9cdot 5-4cdot 2=37$. Итак, значение исходного определителя равнялось (-37), а у определителя с изменённым порядком строк значение равно $-(-37)=37$. Знак определителя изменился на противоположный.

Пример применения этого свойства: показатьскрыть

Рассмотрим определитель $left| begin -7 & 10 & 0\ -9 & 21 & 4 \ 2 & -3 & 1 end right|$. Прибавим к элементам второй строки соответствующие элементы третьей строки, умноженные на 5. Записывают это действие так: $r_2+5cdot$. Вторая строка будет изменена, остальные строки останутся без изменений.

Читать еще:  Задержка заработной платы после увольнения, как повлиять на работодателя?

$$ left| begin -7 & 10 & 0\ -9 & 21 & 4 \ 2 & -3 & 1 end right| begin phantom<0>\ r_2+5cdot\ phantom <0>end= left| begin -7 & 10 & 0\ -9+5cdot 2 & 21+5cdot (-3) & 4+5cdot 1 \ 2 & -3 & 1 end right|= left| begin -7 & 10 & 0\ 1 & 6 & 9 \ 2 & -3 & 1 end right|. $$

Пример применения этого свойства: показатьскрыть

Рассмотрим определитель $left| begin -7 & 10 \ -9 & 21 end right|$. Заметьте, что все элементы второй строки делятся на 3:

$$left| begin -7 & 10 \ -9 & 21 end right|=left| begin -7 & 10 \ 3cdot(-3) & 3cdot 7 end right|$$

Число 3 и есть общий множитель всех элементов второй строки. Вынесем тройку за знак определителя:

$$ left| begin -7 & 10 \ -9 & 21 end right|=left| begin -7 & 10 \ 3cdot(-3) & 3cdot 7 end right|= 3cdot left| begin -7 & 10 \ -3 & 7 end right| $$

Пример применения этого свойства: показатьскрыть

Буквами $r$ (от слова “row”) станем обозначать строки: $r_1$ – первая строка, $r_2$ – вторая строка и так далее. Буквами $c$ (от слова “column”) станем обозначать столбцы: $c_1$ – первый столбец, $c_2$ – второй столбец и так далее.

Найти определитель $Delta = left|begin -8 & 2 & 9 & 17\ -3 & 1 & 2 & 6\ 13 & -3 & -7 & -26\ 11 & 1 & 23 & 6endright|$.

В принципе, начинать решение можно и не преобразовывая определитель. Однако очень удобно, когда первым элементом первой строки является единица (ну, или (-1) на крайний случай). Единицы есть во втором столбце нашего определителя. Сделаем так, чтобы второй столбец стал первым. Для этого просто поменяем местами первый и второй столбцы, используя свойство (1). Не забываем, что при смене мест двух столбцов перед определителем появится знак “минус”:

$$Delta = left|begin -8 & 2 & 9 & 17\ -3 & 1 & 2 & 6\ 13 & -3 & -7 & -26\ 11 & 1 & 23 & 6endright|=-left|begin 2 & -8 & 9 & 17\ 1 & -3 & 2 & 6\ -3 & 13 & -7 & -26\ 1 & 11 & 23 & 6endright|.$$

Итак, столбцы поменяли, однако единица покамест не вышла на первое место в первой строке, – но это дело поправимое. Поменяем местами первую и вторую строки, при этом перед определителем вновь возникнет знак “минус”. Ну, а так как “минус” на “минус” даёт “плюс”, то получим мы следующее:

$$Delta =-left|begin 2 & -8 & 9 & 17\ 1 & -3 & 2 & 6\ -3 & 13 & -7 & -26\ 1 & 11 & 23 & 6endright|=-left( -left|begin 1 & -3 & 2 & 6\ 2 & -8 & 9 & 17\ -3 & 13 & -7 & -26\ 1 & 11 & 23 & 6endright|right)= left|begin 1 & -3 & 2 & 6\ 2 & -8 & 9 & 17\ -3 & 13 & -7 & -26\ 1 & 11 & 23 & 6endright|.$$

Начнём решение. Нам нужно получить нули под главной диагональю. Для этого придётся осуществить несколько шагов, на которых будем изменять строки нашего определителя. На первом шаге мы должны сделать так, чтобы все элементы первого столбца стали нулями – кроме элемента на главной диагонали, выделенного красным цветом:

$$ left|begin boldred <1>& -3 & 2 & 6\ normgreen <2>& -8 & 9 & 17\ normblue <-3>& 13 & -7 & -26\ normpurple <1>& 11 & 23 & 6endright| $$

Преобразования со строками, которые нужно выполнить, чтобы обнулить “серые” элементы, получаются так:

Запись $r_2-2r_1$ означает, что от элементов второй строки вычли соответствующие элементы первой строки, умноженные на два. Полученный результат записали вместо прежней второй строки. Остальные записи расшифровываются аналогично. Согласно свойству (2) значение определителя от таких действий не изменится. Для наглядности я запишу это действие отдельно:

После выполнения всех требуемых операций со строками, мы получим новый определитель. Записывается это так:

$$ Delta=left|begin 1 & -3 & 2 & 6\ 2 & -8 & 9 & 17\ -3 & 13 & -7 & -26\ 1 & 11 & 23 & 6endright| begin phantom <0>\ r_2-2r_1 \ r_3+3r_1 \ r_4-r_1 end= left|begin 1 & -3 & 2 & 6\ 0 & -2 & 5 & 5\ 0 & 4 & -1 & -8 \ 0 & 14 & 21 & 0endright|. $$

Перед тем, как мы пойдём дальше, обратим внимание на то, что все элементы четвёртой строки делятся на 7. Согласно свойству (3) число 7 можно вынести за знак определителя:

$$ left|begin 1 & -3 & 2 & 6\ 0 & -2 & 5 & 5\ 0 & 4 & -1 & -8 \ 0 & 14 & 21 & 0endright|=7cdot left|begin 1 & -3 & 2 & 6\ 0 & -2 & 5 & 5\ 0 & 4 & -1 & -8 \ 0 & 2 & 3 & 0endright| $$

Теперь нам нужно обнулить элементы во втором столбце (под главной диагональю). Т.е., обнулению подлежат элементы, выделенные зелёным и синим цветом. Элемент на главной диагонали, который останется без изменений, выделен красным цветом:

$$ left|begin 1 & -3 & 2 & 6\ 0 & boldred <-2>& 5 & 5\ 0 & normblue <4>& -1 & -8 \ 0 & normblue <2>& 3 & 0endright| $$

А если бы вместо числа -2 возник ноль? показатьскрыть

Если бы вместо числа -2 получился ноль, мы бы поменяли местами строки или столбцы. Например, вот так:

$$ left|begin 1 & -3 & 2 & 6\ 0 & 0 & 5 & 5\ 0 & 4 & -1 & -8 \ 0 & 2 & 3 & 0endright| =[r_2leftrightarrow] =-left|begin 1 & -3 & 2 & 6\ 0 & 2 & 3 & 0\ 0 & 4 & -1 & -8 \ 0 & 0 & 5 & 5 endright| $$

Или же может возникнуть иная ситуация: когда обнулятся все элементы во втором столбце под первой строкой. Вот так:

$$ left|begin 1 & -3 & 2 & 6\ 0 & 0 & 5 & 5\ 0 & 0 & -1 & -8 \ 0 & 0 & 3 & 0endright| $$

В этом случае имеем пропорциональность столбцов, т.е. $c_2=-3c_1$, а это означает, что определитель равен 0.

В принципе, мы можем получить (-1) на месте диагонального “красного элемента”. Для этого достаточно поменять местами второй и третий столбцы, а затем поменять местами вторую и третью строки. Однако в нашем случае этого можно и не делать, так как все “синие элементы” нацело делятся на “красный элемент”, т.е. на (-2). Следовательно, никакой работы с дробями не предвидится. Впрочем, тут дело вкуса: можете попробовать для тренировки продолжить решение, поменяв местами строки и столбцы, чтобы “красным элементом” стала (-1). Выполним такие операции со строками:

Отдельно выписывать действия со строками не станем, так как они полностью аналогичны рассмотренным ранее. Наш определитель станет таким:

$$ Delta=7cdot left|begin 1 & -3 & 2 & 6\ 0 & -2 & 5 & 5\ 0 & 4 & -1 & -8 \ 0 & 2 & 3 & 0endright| begin phantom <0>\ phantom <0>\ r_3+2r_2 \ r_4+r_2end= 7cdot left|begin 1 & -3 & 2 & 6\ 0 & -2 & 5 & 5\ 0 & 0 & 9 & 2 \ 0 & 0 & 8 & 5endright|. $$

Читать еще:  Как следует предоставлять отчетность в ИФНС после открытия ООО?

Осталось последнее действие. Нужно обнулить элемент 8 под главной диагональю:

$$ left|begin 1 & -3 & 2 & 6\ 0 & -2 & 5 & 5\ 0 & 0 & 9 & 2 \ 0 & 0 & boldred <8>& 5endright| $$

Тут уже придется поработать с дробями. Обычно такой работы стараются избегать – и до этого момента нам это удавалось – но теперь уже деваться некуда:

$$ Delta = 7cdot left|begin 1 & -3 & 2 & 6\ 0 & -2 & 5 & 5\ 0 & 0 & 9 & 2 \ 0 & 0 & 8 & 5endright| begin phantom <0>\ phantom <0>\ phantom <0>\ r_4-frac<8><9>r_3 end= 7cdot left|begin 1 & -3 & 2 & 6\ 0 & -2 & 5 & 5\ 0 & 0 & 9 & 2 \ 0 & 0 & 0 & frac<29><9>endright|. $$

Преобразования окончены. Осталось лишь использовать свойство (4) и переменожить элементы, расположенные на главной диагонали:

$$ Delta=7cdot 1cdot (-2)cdot 9 cdot frac<29><9>=-406. $$

Ответ получен. Полное решение без пояснений выглядит так:

$$ Delta = left|begin -8 & 2 & 9 & 17\ -3 & 1 & 2 & 6\ 13 & -3 & -7 & -26\ 11 & 1 & 23 & 6endright| =[c_1leftrightarrow] =left|begin 2 & -8 & 9 & 17\ 1 & -3 & 2 & 6\ -3 & 13 & -7 & -26\ 1 & 11 & 23 & 6endright| =[r_1leftrightarrow]=\ =left|begin 1 & -3 & 2 & 6\ 2 & -8 & 9 & 17\ -3 & 13 & -7 & -26\ 1 & 11 & 23 & 6endright| begin phantom <0>\ r_2-2r_1 \ r_3+3r_1 \ r_4-r_1 end= 7cdot left|begin 1 & -3 & 2 & 6\ 0 & -2 & 5 & 5\ 0 & 4 & -1 & -8 \ 0 & 2 & 3 & 0endright| begin phantom <0>\ phantom <0>\ r_3+2r_2 \ r_4+r_2 end=\ =7cdot left|begin 1 & -3 & 2 & 6\ 0 & -2 & 5 & 5\ 0 & 0 & 9 & 2 \ 0 & 0 & 8 & 5endright| begin phantom <0>\ phantom <0>\ phantom <0>\ r_4-frac<8><9>r_3end =7cdot left|begin 1 & -3 & 2 & 6\ 0 & -2 & 5 & 5\ 0 & 0 & 9 & 2 \ 0 & 0 & 0 & frac<29><9>endright| =7cdot 1cdot (-2)cdot 9 cdot frac<29><9>=-406. $$

В принципе, преобразования метода сведения к треугольному виду просты, однако стоит иметь в виду свойства определителей, изложенные соответствующей теме. Например, на каком-то шаге может обнулиться строка или столбец, или же окажется, что некие строки или столбцы пропорциональны. Это будет означать, что рассматриваемый определитель равен 0.

Решение матриц.

Решение матриц – это понятие, которое обобщает все возможные операции, производимые с матрицами. Математическая матрица – таблица элементов. О такой таблице, где m строк и n столбцов, говорят, что это матрица имеет размерность m на n.

Общий вид матрицы:

Для решения матриц необходимо понимать, что такое матрица и знать основные ее параметры. Основные элементы матрицы:

Основные виды матриц:

  • Квадратная – такая матрица, где число строк = числу столбцов (m=n).
  • Нулевая – где все элементы матрицы = 0.
  • Транспонированная матрица — матрица В, которая была получена из исходной матрицы A путем замены строк на столбцы.
  • Единичная – все элементы главной диагонали = 1, все остальные = 0.
  • Обратная матрица — матрица, при умножении на которую исходная матрица даёт в результате единичную матрицу.

Матрица может быть симметричной относительно главной и побочной диагонали. Т.е., если а1221, а1331,….а2332…. аm-1nmn-1, то матрица симметрична относительно главной диагонали. Симметричными могут быть лишь квадратные матрицы.

Далее приведем основные методы решения матриц.

Методы решения матриц.

Почти все методы решения матрицы заключаются в нахождении ее определителя n-го порядка и большинство из них довольно громоздки. Чтобы найти определитель 2го и 3го порядка есть другие, более рациональные способы.

Нахождение определителей 2-го порядка.

Для вычисления определителя матрицы А 2го порядка, необходимо из произведения элементов главной диагонали вычесть произведение элементов побочной диагонали:

Методы нахождения определителей 3го порядка.

Ниже приведены правила для нахождения определителя 3го порядка.

Правило треугольника при решении матриц.

Упрощенно правило треугольника, как одного из методов решения матриц, можно изобразить таким образом:

Другими словами, произведение элементов в первом определителе, которые соединены прямыми, берется со знаком “+”; так же, для 2го определителя – соответствующие произведения берутся со знаком “-“, то есть по такой схеме:

Правило Саррюса при решении матриц.

При решении матриц правилом Саррюса, справа от определителя дописывают первые 2 столбца и произведения соответствующих элементов на главной диагонали и на диагоналях, которые ей параллельны, берут со знаком “+”; а произведения соответствующих элементов побочной диагонали и диагоналей, которые ей параллельны, со знаком “-“:

Разложение определителя по строке или столбцу при решении матриц.

Определитель равен сумме произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения. Обычно выбирают ту строку/столбец, в которой/ом есть нули. Строку либо столбец, по которой/ому ведется разложение, будут обозначать стрелкой.

Приведение определителя к треугольному виду при решении матриц.

При решении матриц методом приведения определителя к треугольному виду, работают так: с помощью простейших преобразований над строками либо столбцами, определитель становится треугольного вида и тогда его значение, в соответствии со свойствами определителя, будет равно произведению элементов, которые стоят на главной диагонали.

Теорема Лапласа при решении матриц.

Решая матрицы по теореме Лапласа, необходимо знать непосредственно саму теорему. Теорема Лапласа: Пусть Δ – это определитель n-го порядка. Выбираем в нем любые k строк (либо столбцов), при условии k n – 1. В таком случае сумма произведений всех миноров k-го порядка, содержащихся в выбранных k строках (столбцах), на их алгебраические дополнения будет равна определителю.

Решение обратной матрицы.

Последовательность действий для решения обратной матрицы:

  1. Понять, квадратная ли данная матрица. В случае отрицательного ответа становится ясно, что обратной матрицы для нее не может быть.
  2. Понять, квадратная ли данная матрица. В случае отрицательного ответа становится ясно, что обратной матрицы для нее не может быть.
  3. Вычисляем алгебраические дополнения.
  4. Составляем союзную (взаимную, присоединённую) матрицу C.
  5. Составляем обратную матрицу из алгебраических дополнений: все элементы присоединённой матрицы C делим на определитель начальной матрицы. Итоговая матрица будет искомой обратной матрицей относительно заданной.
  6. Проверяем выполненную работу: умножаем матрицу начальную и полученную матрицы, результатом должна стать единичная матрица.

Решение систем матриц.

Для решения систем матриц наиболее часто используют метод Гаусса.

Метод Гаусса — это стандартный способ решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) и он заключается в том, что последовательно исключаются переменные, т.е., при помощи элементарных изменений систему уравнений доводят до эквивалентной системы треугольного вида и из нее, последовательно, начиная с последних (по номеру), находят каждый элемент системы.

Метод Гаусса является самым универсальным и лучшим инструментом для нахождения решения матриц. Если у системы бесконечное множество решений или система является несовместимой, то ее нельзя решать по правилу Крамера и матричным методом.

Метод Гаусса подразумевает также прямой (приведение расширенной матрицы к ступенчатому виду, т.е. получение нулей под главной диагональю) и обратный (получение нулей над главной диагональю расширенной матрицы) ходы. Прямой ход и есть метод Гаусса, обратный – метод Гаусса-Жордана. Метод Гаусса-Жордана отличается от метода Гаусса лишь последовательностью исключения переменных.

Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector